Question

已知直线y=kx与曲线y=lnx相切，则k=______

已知直线y=kx与曲线y=lnx相切，则k=______．

Answer 1

y=2lnx
y'=2/x
假设切点为x0,y0
那么2lnx0=y0
切线的斜率：k1=2/x0
则直线的斜率k=k1=2/x0
y=kx-3
将x0,y0代入
所以y0=2/x0*x-3
所以2-3=y0
所以y0=-1
所以x0=e^-0.5
所以k=2/x0=2*e^0.5

Answer 2

设切点为（x0，y0），则
∵y′=（lnx）′=
1
x
，∴切线斜率k=
1
x0
，
又点（x0，lnx0）在直线上，代入方程得lnx0=
1
x0
?x0=1，∴x0=e，
∴k=
1
x0
=
1
e
．
故答案为：
1
e
．