Question

求无偏估计量？

这里为什么Z的概率密度函数（x>0时）是n/θe^(-nx/θ）？？

Answer 1

Sn 是对总体标准差的有偏估计，Sn-1是对总体标准差的无偏估计。
还要注意，“样本的标准差”、“总体的标准差”与“样本平均数的标准差”、“总体平均数的标准差”不是一回事。
无偏估计

无偏估计是参数的样本估计量的期望值等于参数的真实值。估计量的数学期望等于被估计参数，则称此为无偏估计。
设A'=g(X1,X2,...,Xn)是未知参数A的一个点估计量，若A'满足
E(A'）= A
则称A'为A的无偏估计量，否则为有偏估计量。
注：无偏估计就是系统误差为零的估计。
其中的自由度不再是原有的样本量，需要看情况减去
应该在此进一步解释,无偏估计量
无偏性
估计值在待估参数的真值附近摆动，对待估参数的真值无偏倚。从分析测试的观点看，无偏性意味着测定的准确度。
总体参数的无偏估计量的意义为：样本估计量（平均数、变异数、方差等）的数学期望等于母体真值。
一个估计量若是无偏的，则其概率分布的期望值就等于它所估计的参数。无偏性并不是说我们用任何一个特定样本得到的估计值等于d，甚或很接近0。而是说，如果我们能够从总体中抽取关于Y的无限多个样本，并且每次都计算一个估计值，那么将所有随机样本的这些估计值平均起来，我们便得到。由于在大多数应用中，我们仅使用一个随机样本，所以这个思维实验有些抽象。
无偏估计量
对于待估参数，不同的样本值就会得到不同的估计值。这样，要确定一个估计量的好坏，就不能仅仅依据某次抽样的结果来衡量，而必须由大量抽样的结果来衡量
定义

无偏估计量，数学期望等于被估计的量的统计估计量。
设^θ(X1,X2,…,Xn)是θ的估计量，若E(^θ)=θ，对一切θ∈Θ，则称^θ为θ的无偏估计量，否则称为θ的有偏估计量。
无偏估计量的定义是：设（ξ∧）是ξ的一个估计量，若E（ξ∧）=ξ ，则称ξ∧是ξ的无偏估计量 下面说明题目中的四个估计量都是λ的无偏估计量。因为ξ8、ξ8、ξ8 都是取自参数为λ的泊松总体的样本。
无偏性
对于待估参数，不同的样本值就会得到不同的估计值。这样，要确定一个估计量的好坏，就不能仅仅依据某次抽样的结果来衡量，而必须由大量抽样的结果来衡量。对此，一个自然而基本的衡量标准是要求估计量无系统偏差。也就是说，尽管在一次抽样中得到的估计值不一定恰好等于待估参数的真值，但在大量重复抽样时，所得到的估计值平均起来应与待估参数的真值相同，换句话说，希望估计量的均值（数学期望）应等于未知参数的真值，这就是所谓无偏性(Unbiasedness)的要求。
举例
下面说明题目中的四个估计量都是λ的无偏估计量。首先，因为ξ1、ξ2、ξ3 都是取自参数为λ的泊松总体的样本，独立同分布，所以它们的期望和方差都是λ ，则
（1）无偏性E（λ1∧）= E（ξ1）= λE（λ2∧）= E[(ξ1+ξ2)/2]= (λ+λ)/2 = λE（λ3∧）= E[(ξ1+2*ξ2)/3]= (λ+2λ)/3 = λE（λ4∧）= E[(ξ1+ξ2+ξ3)/3]= (λ+λ+λ)/3 = λ
（2）有效性，即最小方差性D（λ1∧）= D（ξ1）= λD（λ2∧）= D[(ξ1+ξ2)/2]= [D(ξ1)+D(ξ2)]/4= (λ+λ)/4 = λ/2D（λ3∧）= D[(ξ1+2*ξ2)/2]= [D(ξ1)+4D(ξ2)]/9= (λ+4λ)/9 = 5λ/9D（λ4∧）= D[(ξ1+ξ2+ξ3)/3]= [D(ξ1+ξ2+ξ3)]/9 =(λ+λ+λ)/9 = λ/3其中 D（λ4∧）= λ/3 最小，所以无偏估计量 λ4∧最有效。
估计值
为了估计未知参数θ，我们构造一个统计量h（X1，……，Xn)，然后用h（X1，……，Xn)的值h（x1，……xn）来估计θ的真值，称h（X1，……，Xn)为θ的估计量，称h（x1，……xn）为θ的估计值。
在物理学计量中，估读值是测量值的一部分，是读出准确值后，余下的一位数要进行估读，其结果为估计值，跟测量者有关
设（X1，……，Xn)为来自总体X的样本，（x1，……xn）为相应的样本值，θ是总体分布的未知参数，θ∈Θ，
Θ表示θ的取值范围，称Θ为参数空间。尽管θ是未知的，但它的参数空间Θ是事先知道的。为了估计未知参数θ，我们构造一个统计量h（X1，……，Xn)，然后用h（X1，……，Xn)的值h（x1，……xn）来估计θ的真值，称h（X1，……，Xn)为θ的估计量，称h（x1，……xn）为θ的估计值

Answer 2

通过大量的抽样，得到大量的数据，然后进行统计学方法计算这些数据的数学期望，然后与待估参数比较。数学期望等于被估计的量的统计估计量称为无偏估计量。
对于待估参数，不同的样本值就会得到不同的估计值。这样，要确定一个估计量的好坏，就不能仅仅依据某次抽样的结果来衡量，而必须由大量抽样的结果来衡量。对此，一个自然而基本的衡量标准是要求估计量无系统偏差。也就是说，尽管在一次抽样中得到的估计值不一定恰好等于待估参数的真值，但在大量重复抽样时，所得到的估计值平均起来应与待估参数的真值相同，换句话说，希望估计量的均值（数学期望）应等于未知参数的真值，这就是所谓无偏性（Unbiasedness）的要求。

在科学技术中，称为以作为θ的估计的系统误差，无偏估计的实际意义就是无系统误差。

例如，设总体X的均值及方差σ²都存在但均未知，因为，，这就是说不论总体服从什么分布，其样本均值是总体均值的无偏估计，样本方差是总体方差的无偏估计。若，则称是θ的渐进无偏估计量。

Answer 3