Question

已知等差数列{an}的公差d≠0，首项a1=3，且a1、a4、a13成等比数列，...

已知等差数列{an}的公差d≠0，首项a1=3，且a1、a4、a13成等比数列，设数列{an}的前n项和为Sn（n∈N+）． （1）求an和Sn； （2）若bn=an(Sn≤3an)1Sn(Sn＞3an)，数列{bn}的前n项和Tn．求证：3≤Tn＜241160．

Answer 1

解：（1）∵{an}是等差数列，a1=3，公差为d，
∴a4=3+3d，a13=3+12d，
∵a1、a4、a13成等比数列，
∴（3+3d）2=3（3+12d），
整理得d2-2d=0，∵差d≠0，∴d=2，
∴an=3+（n-1）×2=2n+1，Sn=n(3+2n+1)2=n（n+2）．
（2）∵Sn-3an=n（n+2）-3（2n+1）=n2-4n-3=（n+7-2）（n-7-2），
∵n∈N+，由Sn≤3an，得n≤2+7，由Sn＞3an，得n＞2+7．
∵4＜2+7＜5，∴bn=2n+1，(n≤4，且n∈N+)1n(n+2)，(n≥5，且n∈N+)，
当n≤4时，Tn=Sn=n（n+2）；
当n≥5时，Tn=T4+[15×7+16×8+17×9+…+1(n-1)(n+1)+1n(n+2)]
=24+12[（15-17）+（16-18）+（17-19）+…+（1n-1-1n+1）+（1n-1n+2）]
=24+12（15+16-1n+1-1n+2）=241160-2n+32(n+1)(n+2)，
∴Tn＜241160，
又数列{Tn}为递增数列，
∴Tn≥T1=3，
∴3≤Tn＜241160．