Question

设函数f(x)=x+a/(x+1),x>=0.当0<a<1时,求函数f(x)的最小值.

要过程！

Answer 1

解：f(x)
=
x
+a/(x
+
1)
=
(x
+
1)
+
a/(x
+
1)
–
1
≥
2√[(x
+
1)*a/(x
+
1)]
–
1
=
2√a
–
1，（当且仅当(x
+
1)
=
a/(x
+
1)时取等号，即(x
+
1)2
=
a，x
+
1
=
√a，x
=
-1
+
√a时取等号），但由于0
<
a
<
1，所以0
<
√a
<
1，-1
<
x
=
-1
+
√a
<
0，所以等号取不到；考虑到原函数在-1
<
x
≤
-1
+
√a上单调递减，在x≥
-1
+
√a上单调递增，所以函数f(x)
=
x
+
a/(x
+
1)在本题的定义域[0，+∞)上单调递增，f(x)min
=
f(0)
=
a，即函数f(x)的最小值是a
。