设函数f(x)=x+a/(x+1),x>=0.当0<a<1时,求函数f(x)的最小值.
蚁儒华嘉泽
2020-03-31
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解:f(x)
=
x
+a/(x
+
1)
=
(x
+
1)
+
a/(x
+
1)
–
1
≥
2√[(x
+
1)*a/(x
+
1)]
–
1
=
2√a
–
1,(当且仅当(x
+
1)
=
a/(x
+
1)时取等号,即(x
+
1)2
=
a,x
+
1
=
√a,x
=
-1
+
√a时取等号),但由于0
<
a
<
1,所以0
<
√a
<
1,-1
<
x
=
-1
+
√a
<
0,所以等号取不到;考虑到
原函数在-1
<
x
≤
-1
+
√a上单调递减,在x≥
-1
+
√a上单调递增,所以函数f(x)
=
x
+
a/(x
+
1)在本题的
定义域[0,+∞)上单调递增,f(x)min
=
f(0)
=
a,即函数f(x)的最小值是a
。
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