Question

已知a∈R,函数f(x)=ax+lnx-1. (1)当a=1时,求曲线y=f(x...

已知a∈R,函数f(x)=ax+lnx-1. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求f(x)在区间(0,e]上的最小值.

Answer 1

(1)当a=1时,f(x)=
1
x
+lnx-1,x∈(0,+∞),
所以f′(x)=-
1
x2
+
1
x
=
x-1
x2
,x∈(0,+∞).…(2分)
因此f′(2)=
1
4
.
即曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为
1
4
.…(4分)
又f(2)=ln2-
1
2
,
所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(ln2-
1
2
)=
1
4
(x-2),
即x-4y+4ln2-4=0.…(6分)
(2)因为f(x)=
a
x
+lnx-1,所以f′(x)=-
a
x2
+
1
x
=
x-a
x2
.
令f'(x)=0,得x=a. …(8分)
①若a≤0,则f'(x)>0,f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时函数f(x)无最小值.
②若00,函数f(x)在区间(a,e]上单调递增,
所以当x=a时,函数f(x)取得最小值lna.…(10分)
③若a≥e,则当x∈(0,e]时,f'(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,
所以当x=e时,函数f(x)取得最小值
a
e
.…(12分)
综上可知,当a≤0时,函数f(x)在区间(0,e]上无最小值;
当0
0
0
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