β1可以由α线性表示,β2不能
设向量组α1,α2,α3线性无关,向量β1可由α1,α2,α3线性表示,面β2向量不能由α1,α2,α3线性表示,证明向量组α1,α2,α3,β1+β2线性无关....
设向量组α1,α2,α3线性无关,向量β1可由α1,α2,α3线性表示,面β2向量不能由α1,α2,α3线性表示,证明向量组α1,α2,α3,β1+β2线性无关.
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向量β1可由α1,α2,α3线性表示
β1=Aα1+Bα2+Cα3
如果α1,α2,α3,β1+β2线性有关
β1+β2=A'α1+B'α2+C'α3
β2=A'α1+B'α2+C'α3-β1
=A'α1+B'α2+C'α3-(Aα1+Bα2+Cα3)
=(A'-A)α1+(B'-B)α2+(C'-C)α3
和
β2向量不能由α1,α2,α3线性表示
相矛盾
β1=Aα1+Bα2+Cα3
如果α1,α2,α3,β1+β2线性有关
β1+β2=A'α1+B'α2+C'α3
β2=A'α1+B'α2+C'α3-β1
=A'α1+B'α2+C'α3-(Aα1+Bα2+Cα3)
=(A'-A)α1+(B'-B)α2+(C'-C)α3
和
β2向量不能由α1,α2,α3线性表示
相矛盾
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