Question

一个球的内接圆锥的最大体积

Answer 1

解：记这个球的半径为R(R>0)，并设其内接圆锥的底面半径为x(0<x≤R)，高不小于R一侧的内接圆锥体积为f(x)，则由椎体体积公式易知f(R)=πR³/3，而当0<x<R时有
f(x)＝(1/3)πx²[R+√(R²-x²)]
＝π[Rx²+x²√(R²-x²)]/3，
f'(x)＝π[2Rx+2x√(R²-x²)-x³/√(R²-x²)]/3
＝πx[2R+2√(R²-x²)-x²/√(R²-x²)]/3
＝πx[2R+(2R²-3x²)/√(R²-x²)]/3，
令f'(x)=0得
2R√(R²-x²)＝3x²-2R²，
4R²(R²-x²)＝9x⁴-12R²x²+4R⁴，
-4R²x²＝9x⁴-12R²x²，
4R²＝9x²-12R²，
x²＝8R²/9，x＝2√2R/3，
继而，因为
f(2√2R/3)
＝(1/3)π(8R²/9)[R+√(R²-8R²/9)]
＝32πR³/81，
f(R)=πR³/3＝27πR³/81＜32πR³/81，
lim(x->0+)f(x)＝(1/3)π·0²·[R+√(R²-0²)]
＝0＜32πR³/81，
所以，半径为R的球的内接圆锥的最大体积为32πR³/81.