Question

求证：函数f(x)=x+a^2/x(a>0)，在区间上(0，a]上是减函数

Answer 1

0<x1<x2<=a
f(x1)-f(x2)
=x1-x2+a²/x1-a²/x2
通分，分母=
x1x2>0
分子=x1²x2-x1x2²+a²x2-a²x1
=(x1x2-a²)(x1-x2)
0<x1<a
0<x2<=a
所以x1x2-a²<0
x1-x2<0
所以分子大于0
所以
x1-x2+a²/x1-a²/x2>0
即0<x1<x2<=a时f(x1)>f(x2)
所以是减函数

Answer 2

0f(x1)-f(x2)
=x1-x2+a²/x1-a²/x2
通分
，
分母
=
x1x2>0
分子=x1²x2-x1x2²+a²x2-a²x1
=(x1x2-a²)(x1-x2)
00所以x1x2-a²<0
x1-x2<0
所以分子大于0
所以
x1-x2+a²/x1-a²/x2>0
即0f(x2)
所以是
减函数