Question

求问一道高数积分问题

问题如图

Answer 1

根据定积分的几何意义:划分为n个近似矩形，求和、求极限。

详情如图所示:

供参考，请笑纳。

其实，只是一个“定积分的来龙去脉的回顾。”

Answer 2

简单分析一下即可，详情如图所示

Answer 3

由定积分的定义，原式=∫(0,1)√(1+cosπx)dx。
令πx=t。∴dx=dt/π。当x=0时，t=0、x=1时，t=π。∴原式=(1/π)∫(0,π)√(1+cosx)dx。

Answer 4

上式是√(1+cosx)在区间[0,π]的一个达布和除以π（n等分积分区间得小区间长为π/n）,依黎曼积分的定义，它的极限是下式。
可以吗？

Answer 5

let
u=πx
du=πdx
x=0, u=0
x=1, u=π
f(x) =√[ 1+cos(πx)]
lim(n->无穷) (1/n)∑(i:1->n) √[1+cos(iπ/n)]
=lim(n->无穷) (1/n)∑(i:1->n) f(i/n)
=∫(0->1) f(x) dx
=∫(0->1)√[ 1+cos(πx)] dx
=(1/π)∫(0->π) √[ 1+cosu] du
=(1/π)∫(0->π) √[ 1+cosx] dx