Question

a²+b²小于等于1，求证|a²+2ab-b²|小于等于√2

Answer 1

由a^2+b^2≤1,设
a=c*cos(t),b=c*sin(t),|c|<=1.
则
a^2+2ab-b^2
=c^2*(cos(t))^2+2c^2(sin(t))(cos(t))-c^2(sin(t))^2
=c^2*((1+cos(
2t
))/2+sin(2t)-(1-cos(2t))/2)
=c^2*(cos(2t)+sin(2t))
=c^2*2^1/2*sin(2t+π/4)
|a^2+2ab-b^2|
=|c^2*2^1/2*sin(2t+π/4)|
<=2^1/2*c^2
<=2^1/2
(2^1/2即为√2)
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Answer 2

用分析法做
因为√[a+(1/2)]+√[b+(1/2)]≤2
做需要证明{√[a+(1/2)]+√[b+(1/2)"}²≤2²
<===a+(1/2)+b+(1/2)+2√[a+(1/2)][b+(1/2)]≤4
<===a+b+1+2√[a+(1/2)][b+(1/2)]≤4
<===2√[a+(1/2)][b+(1/2)]≤2
因为a+b=1
需要证明√[a+(1/2)][b+(1/2)]≤1
因为√[a+(1/2)][b+(1/2)]≤{[a+(1/2)]+[b+(1/2)]/2=(a+b+1)/2=(1+1)/2=1
公式√ab≤(a+b)/2
所以愿不等式成立