Question

怎么做这道定积分题？

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Answer 1

先换元，然后用分部积分法积分。

Answer 2

凑微分，用换元法，再采用分部积分法，可以求解，如图，再进行一次分部积分就行了

追答

Answer 3

分享解法如下。①先换元。令t=lnx。∴原式=∫(0,π/2)[e^(-t)]sintdt。
②利用欧拉公式求解。再设原式=I2，I1=∫(0,π/2)[e^(-t)]costdt。∴I1+iI2=∫(0,π/2)e^(-t+it)dt=[1/(i-1)]e^(it-t)丨(t=0,π/2)=(1/2)[1+e^(-π/2)]+(i/2)[1-e^(-π/2)]。
∴原式=I2=(1/2)[1-e^(-π/2)]。

Answer 4

直接用integration by parts:
原积分 I = ∫sin(lnx) d(-1/x)
= (-1/x)sin(lnx) + ∫cos(lnx)d(-1/x)
= (-1/x)sin(lnx) - (1/x)cos(lnx) - I
==> I = (1/2)[(-1/x)sin(lnx) - (1/x)cos(lnx)]|[1, e^(π/2)]
= (1/2)[-e^(-π/2) + 1]

Answer 5

换元x=e^t, 然后可以把不定积分算出来