Question

求解一道高数极限题

Answer 1

不要拆成两项，直接展开，取四阶无穷小。
cos(sinx)=1-(sinx)^2/2+(sinx)^4/4!=1-(1/2)(x-x^3/3!)^2+(x-x^3/3!)^4，asx->0
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!
两式相减：cos(sinx)-cosx=(1/6)x^4
所以，lim{x->0}[cos(sinx)-cosx]/x^4=1/6

追问

兄弟，你看错题了吧？

Answer 2

原式=lim(n->∞) {{1+1/[n!^(1/n)+n!^(1/n^2)]}^[n!^(1/n)+n!^(1/n^2)]}^{n/[n!^(1/n)+n!^(1/n^2)]}
=e^lim(n->∞) n/[n!^(1/n)+n!^(1/n^2)]
=e^lim(n->∞) 1/{[n!^(1/n)]/n+[n!^(1/n^2)]/n}
因为lim(n->∞) [n!^(1/n)]/n
=lim(n->∞) (n!/n^n)^(1/n)
=lim(n->∞) e^[(1/n)*ln(n!/n^n)]
=e^lim(n->∞) (1/n)*[ln(1/n)+ln(2/n)+...+ln(n/n)]
=e^∫(0,1) lnxdx
=e^[(xlnx-x)|(0,1)]
=e^(-1)
所以原式=e^lim(n->∞) 1/[e^(-1)+0]
=e^e

Answer 3

用第二个重要极限展开