Question

为什么可降阶的微分方程中不显含y的y''=p',而不显含x的y''=pdp/dy?

Answer 1

不显含y的二阶微分方程y''=f(x,y'),其中的x很明显只能作为自变量,那么y',y''之间有关系y''=d(y')/dx,所以令y'=p后,方程就是一阶微分方程dp/dx=f(x,p).
不显含x的时候,y''=f(y,y'),这时候还是y''=d(y')/dx,但是x不能再出现了,否则出现2个只能作为自变量的变量x,y,微分方程无法降阶.所以选择已经出现的y作为自变量,那么y'=p,y''=dp/dx必须化为p对y的导数,y''=dp/dx=dp/dy×dy/dx=p*dp/dy.