Question

关于利用直角坐标计算二重积分方法之见解

Answer 1

简单分析一下，答案如图所示

Answer 2

按照两重积分的定义来计算两重积分的值，这个方法是相当局限的。目前对两重积分的求解是化两重积分为两次定积分。

        由于两重积分的几何意义之一可认为是一曲顶柱体的体积，则在空间直角坐标系下，如图1所示：

可在a、b之间插入n-1个点，使得：

这样就将曲顶柱体分成n个部分，将着n个部分的体积相加，并记曲顶柱体的体积为V，则有：V≈V1；

继续细分区间，得体积V2；

以此类推，这样我们得到一个序列：

V1，V2，V3，…

当分割的区间的长度趋于零时，上面的序列趋于一常数，这时我们就把该常数理解为曲顶柱体的体积V。

        当区间长度趋于零时，我们不妨设区间是一个点（点是有长度的，因为线段是由无限个点组成的，如果点没有长度的话，将不会存在线段），对于已化分成n个部分的曲顶柱体，我们取任意一小部分体积进行分析，假如我们取区间x0对应的那一部分体积分析，如图3阴影部分所示：

则这一部分小体积可认为一是个平顶柱体的体积，所以：

同理可得：

其中dx是点的长度，则对于区间【a，b】内的所有小平顶柱体的体积，有函数表达式：

当区间长度趋于零时，Δv趋于零，则Δv=dv，所以：

则【a，b】上，曲顶柱体的体积为：

综上所述，有：

以上便是在空间直角坐标系中，求得两重积分的计算方法。

      这是笔者在学习了两重积分的计算法后的一些见解，不当之处在所难免，敬请广大读者批评指正！