Question

矩阵的特征值和特征向量是什么？

Answer 1

如下：

n阶方阵A，行列式|λE-A| [E是n阶单位矩阵，λ是变量。这是λ的n次多项式，首项系数是1] 叫做A的特征多项式，[f（λ）＝|λE-A|].f（λ）＝0的根（n个），都叫A的特征值。

如果λ0是A的一个特征值，|λ0E-A|＝0，（λ0E-A）为降秩矩阵，线性方程组（λ0E-A）X＝0 [X＝（x1,x2,……xn）′是未知的n维列向量] 必有非零解，每个非零解就叫矩阵A的关于特征值λ0的一个特征向量。

在三维空间中，旋转矩阵有一个等于单位1的实特征值。旋转矩阵指定关于对应的特征向量的旋转(欧拉旋转定理)。如果旋转角是 θ，则旋转矩阵的另外两个(复数)特征值是 exp(iθ) 和 exp(-iθ)。从而得出 3 维旋转的迹数等于 1 + 2 cos(θ)，这可用来快速的计算任何 3 维旋转的旋转角。

特征向量是在矩阵变换下只进行“规则”变换的向量，这个“规则”就是特征值。特征向量反映了线性变换的方向，这这几个方向上线性变换只导致伸缩，没有旋转；特征值反映线性变换在这几个方向上导致的伸缩的大小。