Question

分子,分母的和是24的最简真分数有几个，分子与分母的和是2013的最简真分数又有几个？（求过程~）

我看到网上只有第二个有过程，但我没看懂。就一个数有几个真分数是怎么算出来的？还有我知道最简真分数的定义是分子和分母互质，所以除了2以外分子分母就必须是奇数，也不能有分子分母之和那个数的因数倍数，没错吧？然后分母要比分子大。但是比如第二道题那个2013的最简真分数肯定就很多，总不能一个个列吧，所以有什么方法呢？
麻烦大家帮忙解答一下好吗？他难道会随着时间被刷下去吗？我等好久了QAQ谢谢大家
麻烦大家帮忙解答一下啦，感谢~

Answer 1

令分子分母分别是 a和b，对a+b进行质因数分解，求出所有因数。例如：24=2*2*2*3，它的因数有2、3、4、6、8、12。对a和b所有组合进行罗列，从中剔除a和b同时可以约分的组合。最后剩下的就是符合题意的组合。

对于a+b=2013，手工计算的工作量稍大，容易出错。

写了一段程序求出答案，第一题是4个，第二题是600个。

附：计算结果和fortran代码

追问

请问您能讲解一下吗？就是结果我是知道了，但过程我看了好几天都还是不会QAQ，感谢。

追答

我想，分析法的过程，有位回答的比较全面了。

我用的是递归枚举算法，需要编程。有关思路已经在回答中说明。如需说明具体代码，再告。

追问

好的，谢谢您

追答

以a+b=2013为例，补充了代码解释。具体见绿色字体的内容。

希望能有所帮助！

以a+b=2013为例，补充了代码解释。具体见绿色字体的内容。

希望能有所帮助！

追问

好的，谢谢您，鞠躬

Answer 2

楼主好，好像今天又看到你的题目了，我解答就尽量简洁一点:
满足最简真分数的概念下，解题需要满足两个条件，
1、分母必须比分子大----（要求算出真分数的能力）
24的话存在11个真分数，2013存在1006个真分数；能被2整除就-1，不能整除取整，这个应该没啥问题哈？
2、分母和分子不能再有相同的因数；----（分解质因数的能力+逻辑推理的能力）
先用24的来解下题目，我们用24分解质因数为=2*3*4，那么在11个真分数里面，分子不能为这3个数的倍数，我们前面求得真分数有11个，那么在1到11这11个数字中，分子为2、3、4的倍数皆不满足最简真分数的条件；
那么我们只要不考虑这些数字以及它的倍数，用真分数减去它们，剩下的就是最简真分数了
2的倍数有5个(2,4,5,8,10)，3的倍数有3个(3,6,9)，4的倍数有2个（4,8），那么用11-5-3-2，求得最简真分数只有1个，明显不对;

因为在这里面4的倍数和2的倍数重复了，不应该减两次，2和3的倍数也有重复的数字6也不应该减两次，所以我们得把多减去了的部分，给重新加回去就好了，=11-5-3-2 + 2（4的倍数有2个）+1（2和3的倍数为6，得加回去1个） = 4

那么解题2013的重点就是要推导出，分解质因数后，重复的部分有多少个;
2013=3*11*61，那么在1006个真分数里面，3的倍数有1006/3取整=335个，11的倍数有1006/11取整=91个，16的倍数有1006/16取整=16个，那么按我们解题24的思路，用真分数1006-335-91-16，再加上倍数重复的部分就可以了；

那么3,11,61这三个数字中在1到1006有没有重复的部分呢?当然是有的了，两两相乘小于1006的都是，即3*11=33，3*61=183，11*61=671 ，这三个数的倍数都是重复的部分，那么我们再算一遍33，183，671这三个数在1到1006出现过多少次，1006/33取整=30，1006/183取整=5，1006/671=1，共计有36个重复的数字，这个36我们得给他加回去

那么2013的最简真分数=1006-335-91-16+36=600

追问

您好，抱歉之前有事很长时间都没有回复，我已经看了好几天了但是还是看不懂，请问您可以再细致一点吗？感谢，鞠躬

追答

那就从头讲起吧，如果没办法理解，我按步骤拆分，后面再追问：
1、定义：
真分数：指的是分子比分母小的分数
最简真分数：表示的是分子和分母都没有共同的公约数的分数，问题中提到的“除了2之外分子分母就必须是奇数”是有点问题的，比如4/17，只要分子分母已经无法约分，就是最简真分数；
2、解题思路：无论是24还是2013，我们求解其实就只有两个过程，第一是解得真分数的个数，第二则是在N个真分数中，保证分母和分子不能再有相同的因数，得出最简真分数
3、真分数个数求解：以24为例子，分子分母之和为24的真分数，1+23、2+22、3+21~~~~，从分子为1时开始列举，到12/12的时候分子分母已经相等（此时不满足定义），所以当分子为11，即11/13就已经是求和24的极限了。相同求和为6的真分数个数为2，求和为7的真分数个数为3，求和为25的真分数个数为12~~~~
从这个列举中我们可以发现，分子分母求和为某个数字，他的真分数个数："能被2整除就-1，不能整除取整", 24能被2整除，值为12，那么它的真分数个数为12-1=11，同理还有2013，2013/2=1006余1，那么2013存在1006个真分数；
4、最简真分数求解：这里需要分解质因数以及排除重复值，24分解质因数=2*3*4，我们从步骤3得到24的真分数有1/23、2/22、3/21、4/20、5/19、6/18、7/17、8/16、9/15、10/14、11/13这11个，质因数的倍数的分子均不满足最简真分数的定义，如2/22还可以被2约分，4/20可以被5约分~~，在1-11中（分子）为2，3，4的倍数的有2，3，4，6，8，9，10共计7个数字，11个真分数减去可被约分的7个，结果为4；

在这个步骤里面逻辑很简单，就是真分数-分子为质因数倍数的真分数=最简真分数；

2的倍数有5个(2,4,5,8,10)，3的倍数有3个(3,6,9)，4的倍数有2个（4,8），步骤3的真分数11个减去可被约分的2、3、4的倍数的分子（当然这里有重复的部分4，6，8），结果为4
所以我在上一个回答中比较详细解释了，我为什么要减去重复的部分

所以，追问来了，步骤1，步骤2，步骤3，步骤4是哪一部分的内容看不懂，我可以再作解释。

追问

谢谢您一直以来的耐心讲解~
首先是，24分解质因数我以前都是2×2×2×3，我这样是对的吗、如果是对的那按这个质因数能求吗怎么求？
至于步骤4，如果是用真分数的个数减去分解质因数后质因数倍数的个数最后得到最简分数的个数，那应该就只适合算数目比较小的题目？像2013这种有1006个真分数，分解质因数应该是3×11×61，如果找它们的倍数是不是就有点太多了？这时我看到您用1006分别除去3,11,61，

我不知道该怎么描述，就是，想要求一个数之内的倍数有几个就直接像这样除就可以了吗？

求重复部分也就两两相乘就可以，在任何类似的需要求共同倍数有几个的都可以是吗

咦我不是很懂，这个两数相乘求的是重复的数是谁吗？只这一个？用1006除这个数得这个数出现过几次，就是说重复的数只有这三个，但是不止有一个这样的数？那比如说3×11得到公倍数33，那公倍数的倍数算他们的倍数吗？

还有就是两两相乘那个有规律吗？为什么是3×11，3×61和11×61呢？换成别的数比如24呢

谢谢您，鞠躬(◦˙▽˙◦)

追答

24分解质因数是2×2×2×3，这个是没问题的，写成2*3*4是我个人毛病哈，不好意思了。2×2×2×3是对的，这个分解质因数的话，偶数能被2整除，一般用2先除到极致，当然也有一些没办法用2整除的，如2013，是先用3，因为2+0+1+3=6是可以被3整除，所以2013可以被3整除，这个技巧应该是老师讲过的？那么我们对于大的数字，如2013，优先都是用2，或者3先整除，后面再依次用质数继续分解，本身没有太多技巧，在中小学阶段全靠熟能生巧了；

至于步骤4，如果是用真分数的个数减去分解质因数后质因数倍数的个数最后得到最简分数的个数，那应该就只适合算数目比较小的题目？像2013这种有1006个真分数，分解质因数应该是3×11×61，如果找它们的倍数是不是就有点太多了？
关于这个问题，找他们的倍数还是很容易的，我们都知道24的真分数有11个，1到11里面，2的倍数有5个，11拆解为2+2+2+2+2+1，每加一个2就是2的另外一个倍数，从加法到乘法，实际上就是算法改善演进的过程，同理1006=335*3+1，1006=335个3相加再+1，就是说1-1006里面3的倍数有335个，想要求一个数之内的倍数有几个就直接像这样除就可以了。

求重复部分也就两两相乘就可以，在任何类似的需要求共同倍数有几个的都可以是吗？
上个回答用了24的例子，讲了直接用真分数减去质因数及它的倍数，就可以得出真分数个数，原理也在上个回答解释的比较详细了，其实24=2*2*2*3，用这个方法，实际上应该是这样子：
11个真分数，2的倍数=2*5+1（2的倍数有5个），3的倍数=3*3+2（3的倍数有3个），重复的数字用质因数相乘即可，即在1到11里面还存在2*3=6，11/6=6+5，凑不够2个6哈，所以只有1个重复的；最简真分数个数用我们所讲的原理，就是11-2的倍数-3的倍数+重复的倍数，我们一开始把6减了2次，所以要加回去一次。
同样的道理，2013=3*11*61，真分数=1006，
最简真分数=1006-3的倍数（1006/3）-11的倍数（1006/11）-61的倍数（1006/11）+重复的倍数

这个两数相乘求的就是重复的倍数是谁，实际上求的就是公倍数，在24里面我们是加回去2和3的公倍数6，因为2和3的倍数中都有6，我们减去2的倍数和3的倍数，同时减去了两次，所以加回去一次。
两两相乘的规律就是数字互乘

追问

刚看到您的回复时因为有些事分心不太能看进去我所以没有回复，我刚刚才仔细看了几遍，发现自己可以理解了，按照您的思路去推我可以做出来正确的答案，只是还不太熟悉，还需要多练习。经历了这么长时间实在十分感谢您一直以来的耐心指导。谢谢您。另，还有半个来月就要过年了，提前祝您新年快乐，万事如意～

Answer 3

1、 分子分母之和=24的最简真分数有23个（按排列组合原理）
2、同样按排列组合原理，分子分母之和为2013的最简真分数有2012个

Answer 4

24=1+23=2+22=3+21=4+20=5+19=6+18=7+17=8+16=9+15=10+14=11+13,
因 24 是偶数，两个加数都是偶数时，不是最简分数，去除还剩下
24=1+23=3+21=5+19=7+17=9+15=11+13,
两个加数都是3 的倍数时， 不是最简分数，去除还剩下
24=1+23=5+19=7+17=11+13,
分子, 分母的和是24的最简真分数有 1/23, 5/19, 7/17, 11/13 共 4 个。
2013 小于 1007 的因子有 3, 11, 61， 因子之间无公因子。
2013=1+2012=2+2011=3+2010=4+2019=5+2008=6+2007=.......
=1002+1011=1003+1010=1004+1009=1005+1008=1006+1007,
共 1007 组正整数和。因 2013 是奇数，不可能两个加数都是偶数。
2013 可被 3 整除，两个加数都是 3 的倍数时， 不是最简分数，去除
3+2010，6+2007，....... , 1002+1011, 1005+1008 , 共 335 组；
2013 可被 11 整除，两个加数都是 11 的倍数时， 不是最简分数，去除
11+2002，22+1991，....... , 1001+1012 , 共 91 组；
2013 可被 61 整除，两个加数都是 61 的倍数时， 不是最简分数，去除
61+1952，122+1891，....... , 976+1037 , 共 16 组.
2013 可被 3·11 = 33 整除，两个加数都是 33 的倍数时， 不是最简分数，
但重复去除了 2 次， 应加上 33/1980, 66/1947, ...... , 990/1023共 30 个；

2013 可被 3·61 = 183 整除，两个加数都是 183 的倍数时， 不是最简分数，
但重复去除了 2 次， 应加上 183/1830, ...... , 915/1098 共 5 个；
2013 可被 11·61 = 671 整除，两个加数都是 671 的倍数时， 不是最简分数，
但重复去除了 2 次， 应加上 671/1342 共 1 个；
分子, 分母的和是 2013 的最简真分数有
1007 - 335 - 91 - 16 + 30 + 5 + 1 = 601 个。

Answer 5

24=1+23=2+22=3+21=4+20=5+19=6+18=7+17=8+16=9+15=10+14=11+13

分子,分母的和是24的最简真分数有11个.即：24÷2-1=11（个）
以此类推，分子与分母的和是2013的最简真分数又有=2013÷2-1≈1006（个）

追问

请问一下，您这个求的是和等于24和2013的所有分数吗？

追答

是的，

欧明白了，求最简真分数有几个

1、24=1+23=(2+22)=[3+21]=(4+20)=5+19=[(6+18)]=7+17=(8+16)=[9+15]=(10+14)=11+13

24÷2=12

24=2×2×2×3

因24是2和3的倍数数所以(12-1)-(12÷2-1)-(12÷3-1)+12÷12=11-5-3+1=4（个）

所以，分子,分母的和是24的最简真分数有4个.

2、分子与分母的和是2013的最简真分数又有几个？

2013=3×11×61

因2013是3、11、61的倍数数，

(2013-1)÷2=1006.

所以1006-1006÷3-1006÷11-1006÷61+1006÷(3×11)+1006÷(61×3)+1

=1006-335-91-16+30+5+1=600（个）

所以分子与分母的和是2013的最简真分数又有600个

追问

就，我看了很久还是不明白为什么这么求，尤其一长串加减法那就是很懵，请问您还可以再讲解一下吗？非常感谢(｡◕◡◕｡)ﾉ