一函数满足条件,F(X²）=F(x),且在X=0和X=1处均连续,证明函数为常函数
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显然f(-x)=f((-x)^2)=f(x^2)=f(x),所以f(x)是偶函数,因此只需证明
x＞0时f(x)是常数函数.x＞0时
f(x)=f[x^(1/2)]=f[(x^(1/4))]=……=f[x^(1/2^n)]=……
而n→∞时,x^(1/2^n)→1,由于函数在点x=1处连续,
所以n→∞时,limf[x^(1/2^n)]=f(1),于是x>0时f(x)=f(1)
又因f(x)是偶函数,所以x
x＞0时f(x)是常数函数.x＞0时
f(x)=f[x^(1/2)]=f[(x^(1/4))]=……=f[x^(1/2^n)]=……
而n→∞时,x^(1/2^n)→1,由于函数在点x=1处连续,
所以n→∞时,limf[x^(1/2^n)]=f(1),于是x>0时f(x)=f(1)
又因f(x)是偶函数,所以x
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