第二十二题，根据第二张图画蓝色波浪线的地方，第三张图画波浪线的这个正交变换接下来该如何进行呢？
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A为实对称矩阵，可以如图正交化：QᵀAQ=Λ，Λ为A的特征值组成的对角矩阵：
-1 0 0
0 -1 0
0 0 2
由于f(x)=xᵀAx，那么存在正交变换x=Qy，使得
f(x)=xᵀAx=(Qy)ᵀA(Qy)=yᵀQᵀAQy=yᵀΛy=f(y)
那么f(y)按[y₁ y₂ y₃]·Λ·[y₁ y₂ y₃]ᵀ展开即为：f(y)=-y₁²-y₂²+2y₃²
可见化为标准型后只包含二次项，且其系数即为A的特征值
因此其实不用计算，直接按A的特征值即可写出f(y)标准型
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0 -1 0
0 0 2
由于f(x)=xᵀAx，那么存在正交变换x=Qy，使得
f(x)=xᵀAx=(Qy)ᵀA(Qy)=yᵀQᵀAQy=yᵀΛy=f(y)
那么f(y)按[y₁ y₂ y₃]·Λ·[y₁ y₂ y₃]ᵀ展开即为：f(y)=-y₁²-y₂²+2y₃²
可见化为标准型后只包含二次项，且其系数即为A的特征值
因此其实不用计算，直接按A的特征值即可写出f(y)标准型
追问
是不是说它的标准型的系数一定就是该矩阵的特征值？
追答
一个二次型可以有多种方法化为标准型
如果是配方法，得到的二次项系数不一定是矩阵的特征值
但如果是经过单位正交阵变换，即x=Qy后，化为的标准型系数就一定是矩阵的特征值
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