Question

定积分x²/(x²+3)²？

Answer 1

先化简这个积分，设 x = √3tanθ。则 dx = √3sec²θdθ。那么，原积分就可以变换为：
=∫3tan²θ/(3tan²θ+3)² * √3sec²θdθ
=√3/3 * ∫tan²θ/sec²θ * dθ
=√3/3 * ∫tan²θ*cos²θ * dθ 注：secθ=1/cosθ
=√3/3 * ∫sin²θ * dθ
=√3/6 * ∫(2sin²θ) * dθ
=√3/6 * ∫[1 - cos(2θ)]dθ
=√3/6 * ∫dθ - √3/12 * ∫cos(2θ)d(2θ)
=√3/6 * θ - √3/12 * sin(2θ) + C
=√3/6 * arctan(x/√3) - √3/12 * 2tanθ/(1+tan²θ) + C
= √3/6 * arctan(x/√3) - √3/6 * (x/√3)/(1+x²/3) + C
=√3/6 * arctan(x/√3) - 1/6 * 3x/(x²+3) + C
=√3/6 * arctan(x/√3) - x/[2(x²+3)] + C
希望能够帮到你！