Question

高等数学之罗尔中值定理（看不懂，题来凑）

Answer 1

定理：如果函数 y = f(x)满足下列条件:

（1）在闭区间 [a,b] 上连续;（啥叫连续你要是不知道就去百度，百度还不知道你看我文章呗）

（2）在开区间（a,b）内可导;（可导你要是不知道，我giao）

（3）f（a） =   f  (b),

则在开区间（a,b）内至少存在一点 ξ，使得  f ' (ξ)=0

上个图：

例1：函数f（x）= 在区间  [0,2]上满足罗尔定理条件的ξ=?

解：闭区间连续f（0）=f（2）

开区间可导 f '（x）= ，  得x=1，即ξ=1

例2：函数f（x）= 在区间[0,3]上满足罗尔定理，则ξ=？

解：闭区间连续 f（0）=f（3）

开区间f'（x）= =0

得x=2,  即ξ=2

（1）构造辅助函数

-------将 ξ 换为 x

-------移项，使等式的一端为0

-------找出非零端的原函数f（x）

（2）验证罗尔定理的三个条件

（3）由罗尔定理得结论

设函数f（x）在闭区间[0,1]上连续，在开区间（0,1）内可导，且f（0）=0,   f（1）=2    证明在（0,1）内至少存在一点 ξ使得  f'（ ξ）=2 ξ + 1

证明：

[1]构造辅助函数

（1）f'（x）=2x+1（将 ξ 换为 x）

（2）f'（x）-2x+1=0（移项，使等式的一端为0）

（3） （找出非零端的原函数f（x））

令

[2]验证罗尔中值定理的三个条件

因为f（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导;

所以F（x）在[0,1]上连续，在（0,1）内可导;

原函数 ：

 F（0）=f（0）-0-0=0;    （看到这里要是看蒙了，你就看看原题   f（0）  和f（1）的条件）

F（1）=f（1）-1-1=2-1-1=0；

所以F（0）=F（1）

[3]由罗尔中值定理可知：

至少存在一个 ξ∈(0，1)，使得 f'(ξ)=0。

即     f'（ ξ）-2 ξ + 1     f'（ ξ）=2 ξ + 1

设函数f（x）在闭区间[2，4]上连续，在开区间（2,4）内可导，且f（2）=1,   f（4）=4    证明∃ξ（2,4），使得   '(ξ)=

证明：

[1]构造辅助函数

（1）f'（x）=

          x f '（x）=2 f（x）（将 ξ 换为 x）

（2）x f '（x）-2 f（x）=0（移项，使等式的一端为0）

（3）F（x）= （找出非零端的原函数f（x））

[2]验证罗尔中值定理的三个条件（三个条件看最上面）

因为f（x）在[2,4]上连续，在（2,4）内可导;

所以F（x）在[2,4]上连续，在（2,4）内可导;

原函数 ：

  （看到这里要是看蒙了，你就看看原题   f（2）  和f（4）的条件）

=

所以F（2）=F（4）

[3]由罗尔中值定理可知：

∃ξ（2,4），使得  f'(ξ)=0 

（这里还有，不知道什么情况，公式输出不了了，结果很简单，你不会的话，评论我再添上）