已知3阶矩阵A的3个特征值为2,-1,1,求|A+A2+A*| 如题
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A的3个特征值为2,-1,1,所以|A|=2*（-1）*1=-2,不等于0,故A可逆
所以A*=|A|A^-1=-2A^-1,A+A^2+A*=A+A^2-2A^-1,设f(A)=A+A^2-2A^-1,
则f(x)=x+x^2-2x^-1,f(2)=5,f(-1)=2,f(1)=0,而f(2),f(-1),f(1)是f(A)=A+A^2-2A^-1的三个特征值,所以
|A+A2+A*|=|f(A)|=f(2)*f(-1)*f(1)=5*2*0=0
所以A*=|A|A^-1=-2A^-1,A+A^2+A*=A+A^2-2A^-1,设f(A)=A+A^2-2A^-1,
则f(x)=x+x^2-2x^-1,f(2)=5,f(-1)=2,f(1)=0,而f(2),f(-1),f(1)是f(A)=A+A^2-2A^-1的三个特征值,所以
|A+A2+A*|=|f(A)|=f(2)*f(-1)*f(1)=5*2*0=0
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