Question

四、图像的频域变换——傅立叶变换

Answer 1

约瑟夫·傅立叶（Joseph Fourier）——法国数学家、物理学家，1807年提出傅立叶变换。

        傅立叶变换是最早研究与应用的酉变换；60年代出现快速傅立叶变换；傅立叶变换域也称为频域。

        调谐信号（欧拉公式）：

        傅立叶积分：

        f(x)为连续可积函数，其傅立叶变换定义为：

其反变换为：

通常f(x)的傅立叶变换为复数，可有通用表示式为： ， 、 分别称为傅立叶变换 的实部和虚部。

        可进一步写为指数形式：

其中： 称之为 的幅度谱、振幅谱或傅立叶谱； 称之为 的相位谱、相位角。

        一维离散傅立叶变换公式为：

逆变换为：

逆变换的另一种表达形式：

        二维傅立叶变换由一维傅立叶变换推广而来：

逆变换：

幅度谱：

相位谱：

        对于二维傅立叶变换，其离散形式为：

逆变换为：

幅频谱、相位谱：

        1）线性性质（加法定理）：

        2）比例性质（相似性定理）：

比例性质表明：信号在时域中压缩（k>1，变化速度加快）等效于在频域扩展（频带加宽）；反之亦然。

        3）可分离性：

二维DFT可分离为两次一维DFT。

        4）空间位移（位移定理）：

空间位移特性表明：信号在时域中沿时间轴平移一个常数时，等效于频谱函数的相位谱改变，而幅度谱不变。

        5）频率位移：

函数的频率位移相当于傅立叶变换的坐标原点平移，而幅度谱和相位谱不变。

        6）周期性：

离散傅立叶变换DFT和它的逆变换是以N为周期的函数。

        7）共轭对称性：若f(x,y)为实函数，F(u,v)为其傅立叶变换，则

图像的傅立叶变换结果是以原点为中心的共轭对称函数。

        8）旋转不变性：

旋转特性描述：如果f(x,y)旋转了一个角度α，那么f(x,y)旋转后图像的傅立叶变换也旋转了相同的角度α。

结论：对图像的旋转变换和傅立叶变换的顺序是可交换的。

        9）平均值：

离散函数的均值等于该函数傅立叶变换在(0,0)点的值。

        10）卷积定理：空域中的卷积等价于频域中的相乘。

        11）相关定理：空域中f(x,y)与g(x,y)的相关等价于频域中F(u,v)的共轭与G(u,v)相乘。

互相关：

自相关：

        12）拉普拉斯函数：

其傅立叶变换为：

这个定理将在图像的边界提取中用到。

        按照标准的傅立叶变换公式，其幅度谱的强度分布具有下列特性：

        在光学傅立叶变换中，人们已习惯于变化领域中的低谱部分位于中央。使频域的频谱分布中间低、周围高，有利于对频谱的解释和进行各种计算与分析。

为了达到上述要求——图像中心化，借助于傅立叶变换的周期性与频率位移性质，对频域进行换位：

        使频域的中心位移 ：

        相当于对原始图像f(x,y)乘以 ，再进行傅立叶变换：

        对应于 的反变换不等于f(x,y)：

        二维傅立叶变换域分布特性：

        图像信号的傅立叶变换包含幅度与相位两部分；幅度谱具有较明显的信号结构特征和易于解释；实验证明，幅度本身只包含有图像本身含有的周期结构，并不表示其在何处；相位谱类似随机图案，一般难以进行解释；物体在空间的移动，相当于频域的相位移动，相位谱具有同样重要的意义。

        单凭幅度或相位信息，均不足以恢复原图像。 

        快速傅立叶变换的基本思想就是分解-征服，即将大的问题分解成诸多小问题，再一一解决这些小问题，从而最终解决大问题。

        1）将变换公式分解为奇数项和偶数项之和。令：

DFT可表为：

令：N=2M

由于：

可得到：

进一步分析：

还可以得到：

        算法思想：用正向变换计算逆向变换。

        设 ，可有：

即：对F(u)取共轭，利用正向FFT进行变换计算，其结果取共轭后再乘以N，即可得到f(x)。

        利用傅立叶变换的分离性质，对二维FFT进行2次的一维FFT变换：