Question

不等式求证,急----

3{[(a+b+c)/3]-三次根号下abc}大于等于(a+b)-2*二次根号下ab,
其中a、b、c都是正实数

谢谢

Answer 1

因为(a+b+c)/3大于等于三次根号下abc
(a+b)/2大于等于二次根号下ab
所以(a+b+c)大于等于3*三次根号下abc
(a+b)大于等于2*二次根号下ab
所以(a+b+c)－(a+b)大于等于3*三次根号下abc－2*二次根号下ab
故(a+b+c)－3*三次根号下abc大于等于(a+b)－2*二次根号下ab
即3{[(a+b+c)/3]-三次根号下abc}大于等于(a+b)-2*二次根号下ab。

Answer 2

3{[(a+b+c)/3]-三次根号下abc}大于等于(a+b)-2*二次根号下ab,
其中a、b、c都是正实数
3{[(a+b+c)/3]-三次根号下abc}-(a+b)+2*二次根号下ab,
=(a+b+c)-3倍三次根号下abc-（a+b）+2倍二次根号下ab
=c-3倍三次根号下abc+2倍二次根号下ab
》c-(a+b+c)+2倍根号下ab
(当且仅当a=b=c时，取等号)
当a=b=c时
c-(a+b+c)+2倍根号下ab=0
所以
3{[(a+b+c)/3]-三次根号下abc}大于等于(a+b)-2*二次根号下ab,

Answer 3

证明：设a=p^6,b=q^6,c=r^6,(p,q,r>0)
即证
p^6+q^6+r^6-3ppqqrr>=p^6+q^6-2p^3q^3
<=>
r^6 + 2p^3q^3 >= 3ppqqrr
而
r^6 + 2p^3q^3
=r^6 + p^3q^3 + p^3q^3
>=3(r^6*p^3q^3*p^3q^3)^(1/3)=3qqpprr

所以上式成立，等号取到当p=q=r，即a=b=c时