Question

怎样利用导数定义和积分定义求不定积分的值

Answer 1

回答如下：

令x=tant，t∈(-π/2，π/2)

√(1+x²)=sect，dx=sec²tdt

∫√(1+x²) dx

=∫sec³t dt

=∫sect d(tant) 

=sect*tant-∫tant d(sect) 

=sect*tant-∫tan²t*sectdt 

=sect*tant-∫(sec²t-1)*sectdt 

=sect*tant-∫sec³tdt+∫sectdt 

∫sec^3tdt=(1/2)(sect*tant+∫sectdt)

=(1/2)(sect*tant+ln|sect+tant|)+C 

原式=(1/2)[x*√(x^2+1)+ln|√(x^2+1)+x|]+C

不定积分的意义：

如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x)。即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。

设G(x)是f(x)的另一个原函数，即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。

由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’。