Question

什么是有序对（集）？

Answer 1

有序对，简单说，就是有顺序的一对数。一般是在坐标系中，按照横坐标和纵坐标的顺序，表示坐标系中的一个点，这是有序数对。比如（1，3），是第一象限中的一个点，表示横坐标是1，纵坐标是3。

记作(a，b)其中a称为第一元素，b称为第二元素。有序对可以表示有一定次序关系成对出现的事物，如平面直角坐标系中点的坐标就是有序对，(1，2)、(2，1)、(3，3)、(0，-1)都代表平面直角坐标系中不同的点。在有序对中两个元素的次序是十分重要的。

有序对的特点

一般说来有序对具有以下特点：

1)当a≠b时，(a，b)和(b，a)是两个不同的有序对。

2)两个有序对相等，即(a，b)=(c，d)的充分必要条件是a=c且b=d。

注意，(a，b)和(b，a)是不同的。除非a=b，否则(a，b)和(b，a)是不等的。但是集合(a，b}和集合{b，a)是相等的，即{a，b}一{b，a}，因为集合中的元素是无顺序的  。

【例1】证明<x，y>=<u，v>的充分必要条件是x=u且y=v。

证明: 充分性 显然成立。

必要性 若<x，y>=<u，v>,则

{x}∈{{x}，{x，y}}=<x，y>=<u，v>= {{u}，{u，v}}.

(1) 若{x}={u}，则因为u∈{u}={x}，所以u=x。

(2) 若{x}={u，v}，则因为u∈{u，v}={x}，所以有u=x，{u}={x}。故总有{x}={u}及x=u成立。

由{{x}，{x，y}}={{u}，{u，v}}，{x}={u}得{x，y}= {u，u}。再由{x，y}={u，v}和x=u可得y=v。

在实际问题中有时会用到有序3元组，有序4元组，....，有序n 元组。可以用有序对来定义有序n元组 [2]  。