Question

如何证明零点定理?

Answer 1

证明：不妨设

f(b)>0，令

E={x|f(x)≤0，x∈[a,b]}。

由f(a)<0知E≠Φ，且b为E的一个上界，于是根据确界存在原理，

存在ξ=supE∈[a、b]，

下证f(ξ)=0（注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此时必有ξ∈(a、b)），事实上，

(i)若f(ξ)<0，则ξ∈[a、b)，由函数连续的局部保号性知

存在δ>0，对x1∈(ξ,ξ+δ)：f(x)<0→存在x1∈E:x1>supE，

这与supE为E的上界矛盾；

(ii)若f(ξ)>0，则ξ∈(a,b]，仍由函数连续的局部保号性知

存在δ>0，对x1∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在x1为E的一个上界，且x1<ξ,

这又与supE为E的最小上界矛盾。

综合(i)(ii)，即推得f(ξ)=0。

扩展资料

用罗尔定理证明中值等式的思路与步骤

在确定使用罗尔定理来证明中值等式时，可考虑如下基本思路与步骤：

(1) 变换预证等式：化简、移项，将等式所有项移动到左侧，使得右侧等于0，即具有G(ξ)=0的形式.

(2) 构造辅助函数F(x)：将等式中的中值符号，如ξ，替换为变量x，将其转换为函数G(x)在中值的函数值，然后计算、构造该函数的一个原函数F(x)(即导数为G(x)的函数). 在原函数F(x)无法直接计算得到的情况下。

可以考虑引入不增加导函数G(x)零点的辅助函数h(x)乘以G(x)来构造原函数F(x)，即问题转换为寻找G(x)h(x)的原函数F(x). 常用的辅助函数h(x)有自然常数为底的指数函数ex，不包含原点区间的幂函数xn等，使得F’(x)=G(x)或者F’(x)=G(x)h(x)。

参考资料来源：百度百科-零点定理