Question

（2014•武汉）如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=[1/2]x2交于A，B两点．？

Answer 1

解题思路：（1）要求定点的坐标，只需寻找一个合适x，使得y的值与k无关即可．
（2）只需联立两函数的解析式，就可求出点A、B的坐标．设出点P的横坐标为a，运用割补法用a的代数式表示△APB的面积，然后根据条件建立关于a的方程，从而求出a的值，进而求出点P的坐标．
（3）设点A、B、D的横坐标分别为m、n、t，从条件∠ADB=90°出发，可构造k型相似，从而得到m、n、t的等量关系，然后利用根与系数的关系就可以求出t，从而求出点D的坐标．由于直线AB上有一个定点C，容易得到DC长就是点D到AB的最大距离，只需构建直角三角形，利用勾股定理即可解决问题．
（1）∵当x=-2时，y=（-2）k+2k+4=4．
∴直线AB：y=kx+2k+4必经过定点（-2，4）．
∴点C的坐标为（-2，4）．

（2）∵k=-[1/2]，
∴直线的解析式为y=-[1/2]x+3．
联立

y＝−
1
2x+3
y＝
1
2x2，
解得：

x＝−3
y＝
9
2或

x＝2
y＝2．
∴点A的坐标为（-3，[9/2]），点B的坐标为（2，2）．
过点P作PQ∥y轴，交AB于点Q，
过点A作AM⊥PQ，垂足为M，
过点B作BN⊥PQ，垂足为N，如图1所示．

设点P的横坐标为a，则点Q的横坐标为a．
∴yP=[1/2]a2，yQ=-[1/2]a+3．
∵点P在直线AB下方，
∴PQ=yQ
,2,（2014•武汉）如图，已知直线AB：y=kx+2k+4与抛物线y=[1/2]x 2交于A，B两点．

（1）直线AB总经过一个定点C，请直接出点C坐标；
（2）当k=-[1/2]时，在直线AB下方的抛物线上求点P，使△ABP的面积等于5；
（3）若在抛物线上存在定点D使∠ADB=90°，求点D到直线AB的最大距离．