Question

求圆锥曲线上任意一点到焦点的距离公式？

Answer 1

设M（m ，n）是椭圆x^2/a^2+ y^2/b^2=1（a>b>0）的一点，r1和r2分别是点M与点F₁(-c，0)，F₂(c，0)的距离，那么(左焦半径)r₁=a+em，(右焦半径)r₂=a -em，其中e是离心率。

推导：r₁/∣MN1∣= r₂/∣MN2∣=e

可得：r1= e∣MN1∣= e（a^2/ c+m）= a+em，r2= e∣MN2∣= e（a^2/ c-m）= a-em。

所以：∣MF1∣= a+em，∣MF2∣= a-em

拓展资料：

圆锥曲线上任意一点M与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径。圆锥曲线上一点到焦点的距离,不是定值。焦半径：曲线上任意一点与焦点的连线段焦点弦，过一个焦点的弦通径。过焦点并垂直于轴的弦圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦。

连结圆锥曲线（包括椭圆，双曲线，抛物线）上一点与对应焦点的线段的长度，叫做圆锥曲线焦半径。

双曲线

双曲线的焦半径及其应用：

1：定义：双曲线上任意一点P与双曲线焦点的连线段，叫做双曲线的焦半径。

2．已知双曲线标准方程x^2/a^2-y^2/b^2=1，且F1为左焦点，F2为右焦点，e为双曲线的离心率。

总说：│PF1│=|(ex+a)| ；│PF2│=|(ex-a)|（对任意x而言）

具体：

点P(x,y)在右支上

│PF1│=ex+a ；│PF2│=ex-a

点P(x,y)在左支上

│PF1│=-(ex+a) ；│PF2│=-(ex-a)

抛物线

抛物线r=x+p/2

通径:圆锥曲线（除圆）中，过焦点并垂直于轴的弦

双曲线和椭圆的通径是2b^2/a焦准距为a²/c-b²/c=c

a²－b²=c²

抛物线的通径是2p

抛物线y^2=2px (p>0)，C(Xo，Yo)为抛物线上的一点，焦半径|CF|=Xo+p/2.