Question

幂级数和函数怎么求

Answer 1

问题一：幂级数的和函数常见的步骤。途中怎么得出来的。求过程 利用无穷递缩等比数列的求和公式
S＝首项/(1－公比)
|公比|<1
过程如下：

问题二：幂级数的和函数到底是怎么求的？书上的例题看来看去也不明白在干啥呀…… 用求导及积分法比较好求：
记f(x)=∑x^(2n-1)/(2n-1)
求导得：f'(x)=∑x^(2n-2)
这样右端就可以求和了，f'(x)=1/(1-x2)=1/2[1/(1-x)+1/(1+x)]
积分，就得到f(x)=C+1/2[-ln(1-x)+ln(1+x)]
由于有f(0)=0, 因此得C=0
故f(x)=1/2ln[(1+x)/(1-x)]
而∑1/[(2n-1)2^n]=1/√2∑1/[(2n-1) (√2)^(2n-1)]
=1/√2 f(1/√2)
=1/√2*1/2*ln[(1+1/√2)/(1-1/√2)]
=1/√2*ln(√2+1)

问题三：幂级数的和函数怎么求？谢谢！ 当 x=0 时,S(0)=0.当 x≠0 时,
S(x) = ∑ n^2*x^n = x∑ [(n+1)n-n]*x^(n-1),
S(x)/x = ∑ (n+1)n*x^(n-1) - ∑ n*x^(n-1)
= [∑ x^(n+1)]'' - [∑ x^n]'
= [x^2/(1-x)]'' - [x/(1-x)]' = 2/(1-x)^3- 1/(1-x^2) = (1+x)/(1-x)^3,
得 S(x) = x(1+x)/(1-x)^3,已包含了 x=0 的情况.
收敛域 -1

问题四：怎样将一个函数展开成幂级数 f(x)=1/(1-2x)=1+2x+(2x)2+(2x)3+......
=1+2x+4x2+8x3+......+2^n*x^n+.....

f(x)=ln(1+x)=x-x2/2+x3/3-..........

问题五：求幂级数的和函数时的s怎么求 求幂级数的和函数的方法，通常是：
A、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，
或求导定积分多次联合并用；
B、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
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需要注意的是：
运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则，
将一定出错。
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下面五张图片示例，供楼主参考。
若点击放大，图片更加清晰。
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问题六：带有阶乘的幂级数怎么求和函数啊？ 有阶乘n!，(2n)!等等的级数
通常都是指数函数，三角函数等的组合
e^x=Σ x^n/n!
sinx=Σ (-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)!
cosx=Σ (-1)^n*x^(2n)/(2n)!
只要把和函数凑成这样类似形式的函数就可以了
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