Question

下列反常积分中，发散的反常积分是（　　）？

Answer 1

解题思路：通过反常积分的定义以及常见反常积分的敛散性，来选出答案．
①∵
∫+∞2
1
x(ln
x)2dx=
∫+∞2
4dlnx
(lnx)2＝−
4/lnx
|+∞2＝
4
ln2]
∴收敛
②∵
∫+∞0e −
xdx
令t＝
x
.
∫+∞02te−tdt=−2(t+1)e−t
|+∞0＝2
∴收敛
③∵
∫10
1

x(1−x)dx=
∫
1
20
1

x(1−x)dx+
∫1
1
2
1

x(1−x)dx
对于第二个积分，由于
1

x(1−x)≥
1
1−x
∴第二个积分发散
∴③式发散．
④∵
∫+∞0[1
x(1+x)dx=
∫10
dx
x(1+x)+
∫+∞1
dx
x(1+x)=ln
x/1+x
|10+ln
x
1+x
|+∞1]
而
lim
x→0+ln
x
1+x＝−∞
∴第一个积分发散
∴④式发散．
故发散的积分为：③和④
故选：D．
,6,下列反常积分中，发散的反常积分是（　　）
① ∫ +∞ 2 1 x(ln x ) 2 dx ② ∫ +∞ 0 e − x dx ③ ∫ 1 0 1 x (1−x) dx ④ ∫ +∞ 0 [1x(1+x)