Question

z=x^3+y^3在(0，0)处是极值点吗？想要详细的证明。

Answer 1

z=x^3+y^3在(0，0)处不是极值点。

证明如下：

函数z=x^3+y^3的导函数是z'=3x^2+3y^2。

由导函数可知，不论x、y的取值是多少，z'=3x^2+3y^2的是一直是大于或等于0的。

所以函数z=x^3+y^3在定义域内的单调性是一直不变的。

而极值点的形成条件是：极值点上的导数为零或不存在，且函数的单调性有变化。

所以z=x^3+y^3在(0，0)处不是极值点。

扩展资料

多元函数极值点的求法：

令一阶导为0，得到所有驻点；求出二阶导，然后代入驻点，得到A、C、B的值；判断是否满足AC-B2>0，若满足，在判断A的值，大于0则为极小值；反之，为极大值。

求驻点时也要注意那些一阶偏导数不存在的点哦。如z=(x2+y2)0.5，在（0,0）处偏导数不存在，但是（0,0）是该函数的极小值。

比较驻点与函数边界的值的大小。在实际问题中，如果根据题意只存在一个驻点，且一定在函数的内部取得，那么该驻点即为所求。