Question

求sn=sinα +sin2α +...+sinnα

Answer 1

Sn=(sin(na/2) *sin((n+1)a/2))/(sina/2)
其实,这种题目,计算过程可能有点繁杂,但是你记得结论就OK了,下面附上过程：
S=sina+sin2a+sin3a+...+sinna
S=sinna+sin(n-1)a+...+sin2a+sina
将上述二式相加,利用公式sina+sinβ=2sin(a+β)/2*cos(a-β)/2
那么2S=[sin(1+n)a/2 cos(1-n)/2+sin(1+n)a/2 cos(3-n)a/2+...+sin(1+n)a/2 cos(n-3)a/2+sin(1+n)a/2 cos(n-1)a/2]=2sin(1+n)[cos(1-n)a/2+cos(3-n)a/2+...+cos(n-3)a/2+cos(n-1)a/2]
由公式sinacosβ=1/2[sin(a-β)+sin(a+β)]
(注意,上面那些三角函数的分子,加括号的话很头晕的,全部都是这样的,例如sin(1+n)a/2,那个分母2是在(1+n)a的下面的,也就是sin[(1+n)a/2)] )
则上述式子两边都乘以sina/2得到2S*sina/2=sin(n+1)a/2[sinna/2+sin(1-n/2)a+sin(n/2-1)a+sin(2-n/2)a+sin(n/2-1)a+sin(1-n/2)a+sinna/2]
由sin函数是奇函数,则sin(n/2-1)a=-sin(1-n/2)a ,由此,括号内除了第一项和最后一项,其他都消了
故2S*sina/2=2sin(1+n)a/2 sinna/2,即Sn=(sin(na/2) *sin((n+1)a/2))/(sina/2)
另外,给你拓展下吧,对于把上面的函数全部换成cos的话,得到的结果是
S=[cos((n+1)a/2)*sinna/2]/sin(a/2)