Question

如何推导出正四面体外接球半径的计算公式？

Answer 1

正四面体内切球和外接球半径推导：

1、外接球。外接球关键特征为外“接”。因此，各“接”点到球心距离相等且等于半径，解题时无论构造图形还是计算都要对此善加利用。

2、内切球。内切球关键特征为内“切”。因此，各“切”点到球心距离相等且等于半径，且与球心的连线垂直切面，解题时无论构造图形还是计算都要对此善加利用。

考情分析：

正四面体是棱长都相等的三棱锥，在高考中常常围绕它求外接球半径或内切球半径，或者三棱锥体积等等，高考考得比较频繁，所以我们要对它充分掌握，在这里我们来推导它的外接内切球半径。

我们画一个正四面体和外接球，设棱长为a，则每一面上的高为二分之根号3a。

然后在高AD上取点E，使AE=2DE，E为等边三角形ABC的中心，底面外接圆的圆心，连接PE，则pe垂直底面。

然后在PE上取一点O，则PO=AO=r,oE=三分之根号6a-r，利用勾股定理。所以棱长a的为正四面体外接球半径为四分之根号6a。