Question

计算三重积分 ∭ Ω （x2+y2+z2）dv，其中Ω是由x2+y2+z2=1所围成的闭球体

Answer 1

∭ Ω （x2+y2+z2）dv等于4π/5。

解：把x2+y2+z2=1所围成的闭球体Ω换算为极坐标，

那么Ω={（r，φ，θ）|0≤θ≤2π，0≤φ≤π，0≤r≤1}。

则∭ Ω (x2+y2+z2)dv

=∫(0,2π)dθ∫(0,π)sinφdφ∫(0,1)r^4dr

=2π*2*1/5

=4π/5

即三重积分 ∭ Ω （x2+y2+z2）dv等于4π/5。

扩展资料：

三重积分的计算方法

1、直角坐标系法

适用于被积区域Ω不含圆形的区域，且要注意积分表达式的转换和积分上下限的表示方法。

（1）先一后二法投影法，先计算竖直方向上的一竖条积分，再计算底面的积分。

（2）先二后一法（截面法），先计算底面积分，再计算竖直方向上的积分。

2、柱面坐标法

适用被积区域Ω的投影为圆时，依具体函数设定，如设

x^2+y^2=a^2，x=asinθ，y=bsinθ。

区域条件：积分区域Ω为圆柱形、圆锥形、球形或它们的组合。

函数条件：f（x,y,z）为含有与x^2+y^2相关的项。

3、球面坐标系法

适用于被积区域Ω包含球的一部分。

区域条件：积分区域为球形或球形的一部分，锥面也可以。

函数条件：f（x,y,z）含有与x^2+y^2+z^2相关的项。

参考资料来源：百度百科-三重积分