Question

A是n阶矩阵,Ax=0的有非零解的充要条件是|A|=0,为什么?能够证明么？

Answer 1

必要性：假设｜A｜0则n阶矩阵A逆AX＝0两边同左乘A逆X＝0即说明X0解与条件矛盾故｜A｜＝饥森0。

充性：A写列向量形式A＝［a1，a2，．．．．．．an］其aiA第i列。

同X写向量形式X＝［x1，x2，．．．xn］T。

则AX＝0表示

x1a1x2a2．．．．．．xnan＝0

｜A｜＝0所A秩于n所A列向量线性相关故存全0组数x1，x2，．．．．．．，xn使x1a1x2a2．．．．．．xnan＝0

所AX＝0非零解

AX＝0有唯一解的充要条件是｜A｜≠0。存在非零解是正确的，必须｜A｜＝0。

｜A｜＝0可以推出AX＝0但是不能确定x为非零x也可为零。

AX＝0有非零解激肢戚的充要条件是｜A｜＝0且x不等于0。

扩展资料

n阶矩阵A可相似对角化的充要条件是：

1、n阶方阵存在n个线性无关的特征向量明陵。

推论：如果这个n阶方阵有n个不同的特征值，那么矩阵必然存在相似矩阵。

2、如果阶n方阵存在重复的特征值，每个特征值的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重复次数。