Question

怎样快速看出三阶行列式的值是否为零

Answer 1

首先看，是否有两行或两列成比例，有，则为0。

如果看不出来，可以使用初等行变换，化成上三角或下三角阶梯形，看看主对角线上元素是否有0有0，则为0。

对于3阶方阵，可参考以下解三中的做法来求特征值。

解一：

特征多项式f（t）＝｜t＊E－A｜＝0此即得关于t的一元三次方程．求解三个t值即是．可能有重根．或用－f（t）＝｜A－t＊E｜＝0也是一样的。

解二：｜A＋t＊E｜＝0解此关于t的一元三次方程．求解三个t值．可能有重根．再取相反数即是所求．这样在计算是方便一点点。

解三参考：以下tr表示矩阵的迹（即主对角线元素之和）；A＊表示伴随阵；det表示行例式的值．特征多项式f（t）＝｜t＊E－A｜习惯上一般用λ．为了打字方便有时我用t。

如果A是1阶矩阵，易见特征值就是A本身．如果A是2阶矩阵，特征多项式可以写为λλ－tr（A）λ＋det（A）．如果A是3阶矩阵。

特征多项式可以写为λλλ－tr（A）λλ＋tr（A＊）λ－det（A）．其中tr（A＊）＝各阶主子行列式之和．如果A是4阶矩阵，特征多项式可以写为λλλλ－tr（A）λλλ＋cλλ－tr（A＊）λ＋det（A）。

其中c＝（（tr（A））＾2－tr（AA））／2．于是A＝2－125－33－10－2故A＝ttt－（2－3－2）tt＋（6＋－2＋－1）t－（2＊6－5＊2＋－1＊3）＝ttt＋3tt＋3t＋1很显然A＝（t＋1）＾3，有三重根－1。

即矩阵有三重特征值－1用解三来做，举个例子：

－A＝－21－2－53－3102｜tE－A｜

＝dett－21－2－5t＋3－310t＋2

＝（t－2）＊（t＋3）（t＋2）－（－5）＊（t＋2）＋1＊（1＊（－3）－（－2）＊（t＋3））

＝ttt＋3tt＋3t＋1＝（t＋1）＾3故原矩阵A，有一个三重特征值t＝－1。

扩展资料

行列式的几何意义：

1、行列式就是行列式中的行或列向量所构成的超平行多面体的有向面积或有向体积；

2、矩阵A的行列式detA就是线性变换A下的图形面积或体积的伸缩因子。

这两个几何解释一个是静态的体积概念，一个是动态的变换比例概念。但具有相同的几何本质，因为矩阵A表示的（矩阵向量所构成的）。

几何图形相对于单位矩阵E的所表示的单位面积或体积（即正方形或正方体或超立方体的容积等于1）的几何图形而言，伸缩因子本身就是矩阵矩阵A表示的几何图形的面积或体积，也就是矩阵A的行列式。