Question

若g(x)具有二阶导数,g(0)=0,证明 f(x)=(x-1)^2g(x)至少有一点二阶导数为0

Answer 1

f'(x)＝2(x－1)g(x)+(x－1)^2g'(x).(1)
由于f(0)＝g(0)＝0,f(1)＝0,由Rolle中值定理,存在c位于(0,1),使得
f'(c)＝0.注意到(1)式意味着f'(1)＝0,
对f'(x)在[c,1]上用Rolle中值定理,存在d位于(c,1),使得
f''(d)＝0,故结论成立.