Question

已知函数f(x)＝loga(ax−x)(a＞0，a≠1)

Answer 1

解题思路：（1）由真数，可得得，结合已知由不等式的性质可得，可得定义域；
（2）把a=2代入，令t=2x-，可判t在x∈[1，4]上单调递增，由复合函数的单调性可得f（x）在[1，4]上单调递增，由此可得最值；
（3）设，且x 1＜x 2作差变形可判，分0＜a＜1，a＞1结合复合函数的单调性可得．

（1）由ax−
x＞0，得
x(a
x−1)＞0
∵a＞0，
x＞0，∴a
x−1＞0，∴
x＞
1
a，∴x＞
1
a2
∴函数定义域为{x|x＞
1
a2，a＞0，a≠1}；
（2）若a=2，则f(x)＝log2(2x−
x)，x∈(
1
4，+∞)
令t=2x-
x，求导数可得t′=2-
1
2
x＞0，x∈[1，4]
可得函数t=2x-
x在x∈[1，4]上单调递增，
由复合函数的单调性可得f（x）在[1，4]上单调递增，
∴f（x）min=f（1）=log2（2-1）=0，
f(x)max＝f(4)＝log2(8−
4)＝log26；
（3）设x1，x2∈(
1
a2，+∞)，且x1＜x2
则(ax1−
x1)−(ax2−
x2)＝a(x1−x2)−(
x1−
x2)＝(
x1−
x2)[a(
x1+
x2)−1]
∵x2＞x1＞
1
a2，∴
x2＞
x1＞
1
a，∴a(
x1+
x2)＞a•
2
a＝2，
∴(
x1−
x2)[a(
x1+
x2)]＜0，
∴ax1−
x1＜ax2−
x2
若0＜a＜1，则loga(ax1−
x1)＞loga(ax2−
x2)，可得f（x）为减函数，
若a＞1，则loga(ax1−
x1)＜loga(ax2−
x2)，可得f（x）为增函数．

点评：
本题考点： 函数单调性的性质；函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明．

考点点评： 本题考查函数的单调性的判断与证明，涉及函数定义域和最值的求解以及分类讨论的思想，属中档题．