Question

如何证明积分中值定理?

Answer 1

第一定理

如果函数  、  在闭区间[a,b]上连续，且  在  上不变号， 则在积分区间  上至少存在一个点  ，使下式成立：

第二定理

一、如果函数  、  在闭区间[a,b]上可积，且  为单调函数，则在积分区间 [a,b]上至少存在一个点  ，使下式成立：

二、如果函数  、  在闭区间[a,b]上可积，且  并是单调递减函数，则在积分区间[a,b] 上至少存在一个点  ， 使下式成立：

三、如果函数  、  在闭区间 [a,b] 上可积，且  并是单调递增函数，则在积分区间[a,b]  上至少存在一个点  ，使下式成立：

积分中值定理，是一种数学定律。分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。

积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值， 或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法， 是数学分析的基本定理和重要手段。

在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面应用广泛。

定理应用：求极限、问题应用、运用估计、不等式证明。