Question

sinx的四次方怎么积分啊？

Answer 1

1. sinx的四次方的积分需借助降幂公式求解。

2. 具体解答过程：

   =∫(sinx)^4dx

   =∫(1-cos²x)²dx  【利用公式cos²x+sin²x=1】

   =∫(1 - cos2x)/2)^2dx  【利用公式cos²x=(cos2x+1)/2】
   =∫(1 - 2cos2x + (cos2x)^2)/4 dx  

   =∫[1/4- 1/2cos2x + 1/8*(1 + cos4x)]dx  【利用cos²2x=(cos4x+1)/2】

   =∫[(cos4x)/8 - (cos2x)/2 + 3/8] dx

   =(sin4x)/32 - (sin2x)/4 + (3x/8) + C

3. 说明：对于正（余）弦函数积分而言，当次幂数为偶数时，应首先使用降幂公式，将次幂数降低，从而简化计算；当次幂数为奇数时，应先采用凑微分法，即sinxdx=-dcosx和cosxdx=dsinx将前面奇数次幂转化为偶数次幂，然后通过降幂公式进行求解。