Question

用至少2种方法求函数y=[sinx/cosx-2]的值域．

Answer 1

解题思路：本题第1种方法可以利用三角函数的有界性，即-1≤sinα≤1．
第2种方法是利用万能公式，将正弦、余弦函数化为同名三角函数，再用换元法就可以．

方法1：
∵cosx-2≠0，
∴y（cosx-2）=sinx
⇔sinx-ycosx=-2y
⇔
1+y2sin(x+θ)=-2y
⇔sin(x+θ)=-
2y

1+y2，∵sin（x+θ）∈[-1，1]，
∴-1≤-
2y

1+y2≤1，解得-

3
3≤y≤

3
3，
∴函数的值域为：[-

3
3，

3
3]．
方法2：y=

2tan
x
2
1+tan2
x
2

1-tan2
x
2
1+tan2
x
2-2=-

点评：
本题考点： 函数的值域．

考点点评： 三角函数求值域问题常是借助三角函数的有界性来解决．也可以利用万能公式化异名为同名来解决．属于中档题．