Question

可逆矩阵A不可逆，那么A*为什么等于A？

Answer 1

A不可逆

|A*|=0

|A|=0

显然成立；

A不可逆

A*=|A|A^(-1)

取行列式，得

|A*|=||A|A^(-1)|=|A|^zhin ·|A^(-1)|

=|A|^n ·|A|^(-1)

=|A|^(n-1)

相关定理

定理1、设A为一n×n矩阵，则det(AT)=det(A)[2]。

证 对n采用数学归纳法证明。显然，因为1×1矩阵是对称的，该结论对n=1是成立的。假设这个结论对所有k×k矩阵也是成立的，对(k+1)×(k+1)矩阵A，将det(A)按照A的第一行展开，我们有：

det(A)=a11det(M11)-a12det(M12)+-…±a1,k+1det(M1,k+1)。

定理2、设A为一n×n三角形矩阵。则A的行列式等于A的对角元素的乘积。

根据定理1，只需证明结论对下三角形矩阵成立。利用余子式展开和对n的归纳法，容易证明这个结论。