Question

1/(3+sinx^2)dx的 不定积分？

Answer 1

令x＝2u,则：u＝x/2,dx＝2du.
∴∫｛1/［3＋（sinx）^2］｝dx
＝2∫｛1/［3＋（sin2u）^2］｝du
＝2∫｛1/［3（cosu）^4＋3（sinu）^4＋10（sinu）^2（cosu）^2］｝du
＝2∫｛1/［（3cos^2u＋sin^2u）（cos^2u＋3sin^2u）］｝du
＝（1/2）∫｛1/［3（cosu）^2＋（sinu）^2］｝du
　＋（1/2）∫｛1/［（cosu）^2＋3（sinu）^2］｝du
＝（1/6）∫｛1/［（cosu）^2＋（1/3）（sinu）^2］｝du
　＋（1/2）∫｛1/［（cosu）^2＋3（sinu）^2］｝du
＝（1/6）∫｛［1/（cosu）^2］/［1＋（1/3）（tanu）^2］｝du
　＋（1/2）∫｛［1/（cosu）^2］/［1＋3（tanu）^2］｝du
＝［1/（2√3）］∫｛（1/√3）（tanu）′/［1＋（1/3）（tanu）^2］｝du
　＋［1/（2√3）］∫｛√3（tanu）′/［1＋3（tanu）^2］｝du
＝［1/（2√3）］∫｛1/［1＋（1/3）（tanu）^2］｝d［（1/√3）tanu］
　＋［1/（2√3）］∫｛1/［1＋3（tanu）^2］｝d（√3tanu）
＝［1/（2√3）］arctan［（1/√3）tanu］＋［1/（2√3）］arctan（√3tanu）＋C
＝（√3/6）arctan［（√3/3）atn（x/2）］＋（√3/6）arctan［√3tan（x/2）］＋C,3,