设f(x)在[0，a]上连续，在(0，a)内可导，且f(a)=0，证明方程f(x)+xf(x)=0在(0，a)内至少有一个根．
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【答案】：[证明]令F(x)=xf(x)．
因为f(x)在[0，a]上连续，在(0，a)内可导，所以F(x)在[0，a]上连续，在(0，a)内可导，且
F'(x)=f(x)+xf'(x)．
又F(0)=F(a)=0，由罗尔定理得，至少存在ξ∈(0，a)，使得F'(ξ)=0，
即ξ是f(x)+xf'(x)=0的根．
因为f(x)在[0，a]上连续，在(0，a)内可导，所以F(x)在[0，a]上连续，在(0，a)内可导，且
F'(x)=f(x)+xf'(x)．
又F(0)=F(a)=0，由罗尔定理得，至少存在ξ∈(0，a)，使得F'(ξ)=0，
即ξ是f(x)+xf'(x)=0的根．
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