线性代数中,为什么r(AB)≤r?

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恋任世纪
2023-01-19 · TA获得超过7271个赞
知道大有可为答主
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AB,是m×n的矩阵,
设A的列向量中α(i1),α(i2),...,α(ir)是其中一个极大线性无关组
β(j1),β(j2),...,β(jt)是B的列向量的一个极大线性无关组。

那么A的每一个列向量均可以由α(i1),α(i2),...,α(ir)线性表出,
B的每一个列向量均可以用β(j1),β(j2),...,β(jt)线性表出。

于是
A+B的每一个列向量α(k)+β(k)都能用α(i1),α(i2),...,α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)线性表出。
因此A+B列向量组中极大线性无关组的向量个数不大于α(i1),α(i2),...,
α(ir),β(j1),β(j2),...,β(jt)中的向量个数,
即r(A+B)≤r+t=r(A)+r(B)
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