Question

线性代数中,为什么r(AB)≤r？

Answer 1

AB,是m×n的矩阵，
设A的列向量中α(i1),α(i2),...,α(ir)是其中一个极大线性无关组
β(j1),β(j2),...,β(jt)是B的列向量的一个极大线性无关组。

那么A的每一个列向量均可以由α(i1),α(i2),...,α(ir)线性表出，
B的每一个列向量均可以用β(j1),β(j2),...,β(jt)线性表出。

于是
A+B的每一个列向量α(k)+β(k)都能用α(i1),α(i2),...,α(ir)，β(j1),β(j2),...,β(jt)线性表出。
因此A+B列向量组中极大线性无关组的向量个数不大于α(i1),α(i2),...,
α(ir)，β(j1),β(j2),...,β(jt)中的向量个数，
即r(A+B)≤r+t=r(A)+r(B)