Question

定义在实数集上的函数f（x），对任意x，y∈r，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）*f（y），且f（0）≠0。

求证f（0）=1
求证y＝f（x）是偶函数

Answer 1

. 令y=0,得f(x)+f(x)=2f(x)*f(0),所以f(0)=1
令x=0,得f(y)+f(-y)=2f(0)*f(y)=2f(y),所以f(y)=f(-y),即y=f(x)是偶函数

2. f(x)是周期函数,证明：
令y=c/2,得f(x+c/2)+f(x-c/2)=2f(x)*f(c/2)=0
所以f(x+c/2)=-f(x-c/2)，作换元t=x-c/2,得f(t+c)=-f(t)
再将t+c代入t,得f(t+2c)=-f(t+c)
所以f(t+2c)==-f(t+c)=f(t),即2c是f(x)的一个周期