Question

泰勒公式中余项有几类？

Answer 1

常用泰勒展开公式如下：

1、e^x=1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……。

2、ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k(|x|<1)。

3、sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。(-∞<x<∞)。

4、cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+……(-∞<x<∞)。

5、arcsinx=x+1/2*x^3/3+1*3/(2*4)*x^5/5+……(|x|<1)。

6、arccosx=π-(x+1/2*x^3/3+1*3/(2*4)*x^5/5+……)(|x|<1)。

7、arctanx=x-x^3/3+x^5/5-……(x≤1)。

8、sinhx=x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+……(-∞<x<∞)。

9、coshx=1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)。

10、arcsinhx=x-1/2*x^3/3+1*3/(2*4)*x^5/5-……(|x|<1)。

11、arctanhx=x+x^3/3+x^5/5+……(|x|<1)。

泰勒公式的余项有两类：

一类是定性的皮亚诺余项，另一类是定量的拉格朗日余项。这两类余项本质相同，但是作用不同。

一般来说，当不需要定量讨论余项时，可用皮亚诺余项（如求未定式极限及估计无穷小阶数等问题）；当需要定量讨论余项时，要用拉格朗日余项（如利用泰勒公式近似计算函数值）