Question

若a>0+b>0,a+1分之一+b+1分之一=1,求a+2b的最小值

Answer 1

已知 a > 0, b > 0 且 a + 1/(a + b) + b + 1/(a + b) = 1。我们的目标是求 a + 2b 的最小值。
首先，将已知方程整理一下：
a + b + 2/(a + b) = 1
接下来，我们使用柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality），对于任意非负数序列 a_i 和 b_i (i = 1, 2, ..., n)，有：
∑(a_i * b_i) ≥ (∑a_i) * (∑b_i) / n
在这里，我们取 n = 2, a_1 = a, a_2 = b, b_1 = b_2 = 1，则有：
(a * 1) + (b * 1) ≥ (a + b) * (1 + 1) / 2
a + b ≥ (a + b)² / 2
我们可以看到，当且仅当 a = b 时，不等式取等号。此时，a = b = 1/2，所以：
a + 2b = 1/2 + 2 * (1/2) = 2
因此，a + 2b 的最小值为 2。

Answer 2

1/（a+1）+1/（b+1）=1，
a+2b=（a+1）+2（b+1）-3
=[（a+1）+2（b+1）][1/（a+1）+1/（b+1）]-3
=[1+(a+1)/(b+1)+2(b+1)/(a+1)+2]-3
=(a+1)/(b+1)+2(b+1)/(a+1)
≥2√[(a+1)/(b+1)×2(b+1)/(a+1)]
=2√2
取得等号的条件：
(a+1)/(b+1)=2(b+1)/(a+1)
(a+1)/(b+1)=√2
a+1=√2（b+1）
1/[√2（b+1）]+1/（b+1）=1
b+1=1+√2/2
b=√2/2
a=√2（1+√2/2）-1
=√2+1-1
=√2